REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
La regresión lineal es una técnica estadística destinada a analizar las causas de por qué pasan las cosas. A partir de los análisis de regresión lineal múltiple podemos:
* Identificar que variables independientes (causas) explican una variable dependiente (resultado).
* Comparar y comprobar modelos causales.
* predecir valores de una variable, es decir, a partir de unas características predecir de forma aproximada un comportamiento o estado.
EJEMPLO:
“Una desea estimar los gastos en alimentación de una familia en base a la información que proporcionan las variables regresoras X1 =“ingresos mensuales” y X2 =“número de miembros de la familia”. Para ello se recoge una muestra aleatoria simple de 15 familias cuyos resultados son los de la tabla adjunta
(El gasto e ingreso está dado en cientos de miles de pesetas)”
RESOLUCIÓN:
Los datos en forma matricial
Con estos datos se obtiene:
Por tanto:
De donde:
El modelo de regresión lineal que se tiene es:
A partir de esta ecuación se obtienen las predicciones y los residuos asociados a las observaciones muestrales. Para la primera observación (X1=2´1; X2=3 y Y=0´43) se obtiene
Razonando así en todos los puntos muestrales se obtiene:
Calculo scR:
También se puede calcular la scR de la siguiente forma:
Se calculan los intervalos de confianza de los parámetros del modelo al 90%,:
Con estos datos se obtiene el siguiente contraste conjunto de la F:
El contraste conjunto de la F indica claramente la influencia del modelo en la variable respuesta. Por tanto, de los contrastes individuales y del conjunto se deduce la influencia de cada una de las dos variables regresoras y la influencia conjunta del modelo.
Ahora se calcula el contraste individual de la F respecto a la variable x2=“tamaño”, contraste que es equivalente al contraste individual de la t. Para ello, se obtiene la regresión de la variable gasto respecto a la variable ingreso,
Gasto = 87´124 + 1´543 ingreso
la tabla ANOVA de este modelo es:
La variabilidad incremental debida a la variable diámetro es:
este valor indica lo que aumenta la variabilidad explicada por el modelo al introducir la variable tamaño.
Para contrastar la influencia o no de esta variable se utiliza el estadístico:
que da el mismo p-valor que en el contraste individual de la t (hay pequeñas diferencias por los resondeos).
Cálculo de los coeficientes de correlación:
La tabla ANOVA del modelo es:
Análogamente, el coeficiente de correlación simple entre las variables gasto y tamaño es,
Coeficiente de correlación parcial entre las variables gasto e ingreso.:
Otra forma más compleja de calcular este coeficiente es la siguiente: se obtienen las siguientes regresiones y se guardan los residuos,
Ahora el coeficiente de correlación parcial entre las variables gasto e ingreso se obtiene como el coeficiente de correlación simple entre las variables Egasto.tamaño y Eingreso.tamaño
este coeficiente mide la relación entre las variables gasto e ingreso libres de la influencia de la variable tamaño.
Análogamente se obtiene que
Estimación de la media condicionada.
Algunos gráficos de interés que ayudan a resolver el problema son los siguientes:
Gráficos parciales de las componentes
Gráficos de residuos:
